一元二次方程解法教程：求根公式、配方法、因式分解和判别式
一句话答案
判别式 Δ = b² − 4ac：Δ > 0 有两个不等实根，Δ = 0 有两个相等实根，Δ < 0 没有实数根。求根公式 x = (−b ± √Δ) ÷ 2a。方程 x² − 5x + 6 = 0 的 Δ = 1，两根为 x₁ = 3、x₂ = 2，抛物线顶点为 (2.5, −0.25)。
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用求解器解方程
- 整理方程：先把方程化成一般式 ax² + bx + c = 0，例如 x² = 5x − 6 化为 x² − 5x + 6 = 0。
- 填系数：打开 一元二次方程求解，填写 a、b、c（注意负号）。
- 看结果：显示判别式 Δ、两个根（实数根或复数根）、抛物线顶点和对称轴。
📐 一元二次方程求解
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判别式判断根的情况
Δ = b² − 4ac = (−5)² − 4 × 1 × 6 = 1。
| Δ 的值 | 根的情况 |
|---|---|
| Δ > 0 | 两个不相等的实数根 |
| Δ = 0 | 两个相等的实数根 |
| Δ < 0 | 没有实数根（有一对共轭复数根） |
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三种解法
1. 公式法：x = (−b ± √Δ) ÷ 2a = (5 ± 1) ÷ 2，所以 x₁ = 3，x₂ = 2。
2. 因式分解法：找两个数，乘积为 6、和为 −5，即 −2 和 −3，所以 (x − 2)(x − 3) = 0。系数是整数且容易分解时最快。
3. 配方法：x² − 5x + 6 = 0 → (x − 2.5)² = 0.25 → x − 2.5 = ±0.5，得到同样的两根。配方法也是推导求根公式的方法。
用韦达定理验算
两根之和 x₁ + x₂ = −b/a = 5，两根之积 x₁ · x₂ = c/a = 6。3 + 2 = 5，3 × 2 = 6，验算正确。
抛物线的顶点和对称轴
y = ax² + bx + c 的对称轴为 x = −b/2a = 2.5，顶点纵坐标为 y = −Δ/4a = −0.25。a > 0 时开口向上，顶点是最低点。
常见问题
a 等于 0 怎么办？
a = 0 时不是一元二次方程，变成一元一次方程 bx + c = 0。
Δ < 0 时题目问“方程的解”怎么写？
初中阶段写“方程没有实数根”；高中学过复数后可以写出复数根。
二元一次方程组怎么解？
见 二元一次方程组教程。
系数是分数可以吗？
可以填小数；也可以先两边同乘分母的最小公倍数化为整数系数。