矩阵计算教程：行列式、逆矩阵、转置和秩的含义与计算方法
一句话答案
二阶矩阵 [[a,b],[c,d]] 的行列式是 ad − bc；行列式不为 0 时矩阵可逆，逆矩阵 = 1/(ad − bc) × [[d,−b],[−c,a]]。例如 [[2,1],[5,3]] 的行列式是 1，逆矩阵是 [[3,−1],[−5,2]]。更大的矩阵可以用在线计算器。
几个基本概念
| 概念 | 含义 |
|---|---|
| 行列式 det(A) | 方阵对应的一个数，反映线性变换对面积或体积的缩放倍数 |
| 逆矩阵 A⁻¹ | 满足 A × A⁻¹ = 单位矩阵 E 的矩阵 |
| 转置 Aᵀ | 行和列互换 |
| 秩 rank(A) | 线性无关的行（或列）的最大个数 |
可逆条件：方阵的行列式不等于 0 时可逆；行列式等于 0 的矩阵叫奇异矩阵，没有逆矩阵。n 阶方阵可逆也等价于秩为 n。
二阶矩阵手算
设 A = [[a, b], [c, d]]：
- 行列式：det(A) = ad − bc；
- 逆矩阵：A⁻¹ = 1/(ad − bc) × [[d, −b], [−c, a]]，口诀是“主对角线互换，副对角线变号，再除以行列式”；
- 转置：Aᵀ = [[a, c], [b, d]]。
示例：A = [[2, 1], [5, 3]]
- det(A) = 2 × 3 − 1 × 5 = 1；
- A⁻¹ = [[3, −1], [−5, 2]]；
- 验算：[[2,1],[5,3]] × [[3,−1],[−5,2]] = [[1,0],[0,1]]。
三阶及以上的行列式可以按行展开或用初等行变换化成上三角矩阵，计算量较大，适合用计算器。
用在线矩阵计算器
- 输入矩阵：打开 矩阵计算器，每行写一行，数字之间用空格分隔，例如第一行“2 1”，第二行“5 3”。
- 看结果：下方实时显示行列式、秩、转置矩阵和逆矩阵。
- 更大的矩阵：最大支持 6×6 方阵；行列式为 0 时不显示逆矩阵。
![矩阵 [[2,1],[5,3]] 的行列式、秩、转置和逆矩阵](img/matrix-calculation-main.webp)
🔢 矩阵计算器
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使用提醒
- 计算器使用双精度浮点数，元素很大或接近奇异时可能有舍入误差；
- 逆矩阵里出现小数时，可以借助 分数计算 化成分数核对；
- 行列式为 0 时，说明各行线性相关，秩小于阶数。
常见问题
二阶行列式怎么算？
主对角线乘积减去副对角线乘积，即 ad − bc。
什么矩阵没有逆矩阵？
行列式等于 0 的方阵（奇异矩阵）没有逆矩阵，非方阵也没有通常意义的逆矩阵。
矩阵计算器最大支持多大？
最大支持 6×6 方阵。
秩是什么意思？
矩阵中线性无关的行或列的最大个数，n 阶方阵满秩时可逆。