对数计算教程：对数定义、lg 和 ln 的区别、运算法则、换底公式和在线计算
一句话答案
如果 a^b = x，那么 b = logₐx，例如 10³ = 1000，所以 lg1000 = 3。lg 是以 10 为底，ln 是以 e（约 2.71828）为底。任意底数可以用换底公式 logₐx = ln x ÷ ln a 计算。
对数的定义
如果 a^b = x（a > 0 且 a ≠ 1，x > 0），那么 b 叫做以 a 为底 x 的对数，记作 b = logₐx。
- 10³ = 1000，所以 log₁₀1000 = 3；
- 2³ = 8，所以 log₂8 = 3；
- 任何底数：logₐ1 = 0，logₐa = 1。
常见的几种对数
| 写法 | 底数 | 常见用途 |
|---|---|---|
| lg x | 10 | 数量级、分贝、pH 值 |
| ln x | e ≈ 2.71828 | 微积分、连续增长、自然科学 |
| log₂x | 2 | 计算机、信息量（比特） |
注意：一些国外教材和编程语言里的 log x 指自然对数 ln x，也有的指 lg x，要看上下文。
运算法则
- 积的对数：logₐ(MN) = logₐM + logₐN；
- 商的对数：logₐ(M ÷ N) = logₐM − logₐN；
- 幂的对数：logₐ(Mⁿ) = n × logₐM；
- 换底公式：logₐx = log_b x ÷ log_b a，常用 ln x ÷ ln a 或 lg x ÷ lg a。
例如 log₂8 = ln8 ÷ ln2 ≈ 2.0794 ÷ 0.6931 = 3。
在线计算对数
- 填写真数：打开 对数计算器，在 x 里填写要求对数的数，例如 1000。
- 填写底数：在“底数”里填写底数，例如 10 或 2。
- 看结果：同时显示以该底数的对数，以及 ln(x)、lg(x) 和 log₂(x)。
例如 x = 1000、底数 10，结果 log₁₀1000 = 3，同时显示 ln1000 ≈ 6.907755279，log₂1000 ≈ 9.9657842847。
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应用举例
- 数量级：一个数的 lg 值的整数部分反映它有几位数，见 科学计数法；
- 复利翻倍时间：n = ln2 ÷ ln(1 + r)，年利率 6% 时约 11.9 年；
- 二进制位数：表示 1000 个不同的数至少需要 ⌈log₂1000⌉ = 10 位二进制，见 进制转换。
常见问题
lg 和 ln 有什么区别？
lg 以 10 为底，ln 以自然常数 e（约 2.71828）为底。
计算器没有我要的底数怎么办？
用换底公式 logₐx = ln x ÷ ln a，或者直接在对数计算器里填写任意底数。
0 和负数有对数吗？
在实数范围内没有，真数 x 必须大于 0，底数必须大于 0 且不等于 1。
log₂8 等于多少？
等于 3，因为 2³ = 8。