正态分布计算教程：已知均值和标准差，求区间概率、累积概率和分位数，68-95-99.7 法则

基本概念

• 正态分布 N(μ, σ²)：钟形曲线，以均值 μ 为中心左右对称，标准差 σ 越大曲线越“矮胖”；
• 标准化：z = (x − μ) ÷ σ，表示 x 离均值有几个标准差；
• 累积概率 P(X < a)：曲线下 a 左侧的面积。

用计算器算

1. 填分布参数：打开 正态分布计算器，填写“平均值 μ”和“标准差 σ”，例如 170 和 6。
2. 填区间：“下限 a”和“上限 b”填你关心的范围，例如 164 和 176。
3. 填分位数概率：想知道“多少以下占 95%”，在“分位数概率 p”填 0.95。
4. 看结果：下方显示 P(a < X < b)、P(X < a)、P(X > b) 和 p 分位数。

68-95-99.7 法则

1.96 和 2.576 是构造 95%、99% 置信区间常用的临界值，见 置信区间和样本量。

常见用法

1. 考试成绩：均值 75、标准差 10，90 分以上约占 P(X > 90) ≈ 6.7%；
2. 质量控制：零件尺寸超出 μ ± 3σ 的比例约 0.27%；
3. 百分位：求“前 10% 的分数线”，在分位数概率填 0.9。

均值和标准差可以先用 平均数与标准差 算出来。

注意

正态分布是一种理想模型。收入、房价等明显偏斜的数据并不服从正态分布，直接套用会得出错误结论。