排列组合计算教程：排列数、组合数、可重复排列组合和阶乘，附例题
一句话答案
排列考虑顺序：A(n,r) = n! ÷ (n − r)!；组合不考虑顺序：C(n,r) = n! ÷ [r! × (n − r)!]。10 选 3：排列 720 种，组合 120 种，可重复排列 1,000 种，可重复组合 220 种。
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四个公式
| 类型 | 顺序 | 能否重复 | 公式 | n=10、r=3 |
|---|---|---|---|---|
| 排列 A(n,r) | 有关 | 不能 | n! ÷ (n − r)! | 720 |
| 组合 C(n,r) | 无关 | 不能 | n! ÷ [r! × (n − r)!] | 120 |
| 可重复排列 | 有关 | 能 | nʳ | 1,000 |
| 可重复组合 | 无关 | 能 | C(n + r − 1, r) | 220 |
阶乘 n! = n ×（n − 1）× … × 1，规定 0! = 1。排列数在国内教材中写作 A(n,r) 或 Aₙʳ，国外常写作 nPr；组合数写作 C(n,r) 或 nCr。
用计算器算
- 填 n 和 r：打开 排列组合计算器，“n (总数)”填总共有多少个，“r (选取)”填选几个。
- 看结果：下方同时显示排列数、组合数、可重复排列和可重复组合。
- 算阶乘：需要单独算 n! 时打开 阶乘计算器，支持到 5000!，给出精确值、位数和末尾零的个数。
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怎么判断用排列还是组合
问自己：交换两个元素的位置，算不算新的一种？
- 算新的 → 排列。例如 10 人中选班长、副班长、学委，选法 A(10,3) = 720；
- 不算 → 组合。例如 10 人中选 3 人组成小组，选法 C(10,3) = 120；
- 每个位置可以重复使用 → 可重复排列。例如 3 位数字密码锁，有 10³ = 1,000 种；
- 可以重复选、不计顺序 → 可重复组合。例如从 10 种口味中买 3 个冰淇淋（口味可重复），有 220 种。
和概率结合
概率 = 有利情况数 ÷ 总情况数。例如 10 人中随机抽 3 人，指定的某人被抽中的概率 = C(9,2) ÷ C(10,3) = 36 ÷ 120 = 30%。随机抽签可以用 随机数生成。
常见问题
0! 为什么等于 1？
这是为了让公式在 r = n 或 r = 0 时也成立，例如 C(n,0) = 1，即“什么都不选”有一种方式。
r 大于 n 时怎么办？
不可重复的排列和组合在 r > n 时为 0；可重复的情况仍然可以计算。
阶乘末尾有几个零怎么算？
数 n! 中因子 5 的个数：n ÷ 5 + n ÷ 25 + n ÷ 125 + …（取整）。例如 20! 末尾有 4 个零。