置信区间与样本量计算教程：t 分布均值置信区间、问卷调查需要多少样本
一句话答案
均值的置信区间 = 样本均值 ± 临界值 × 标准误，标准误 = s ÷ √n。均值 50、标准差 10、n = 25，95% 置信区间约 45.87–54.13。问卷样本量 n = z² × p(1 − p) ÷ e²，95% 置信、误差 ±5%、比例 50% 时约需 385 份。
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置信区间是什么
置信区间用一个范围来估计总体参数。“95% 置信区间”的意思是：如果反复抽样并按同样方法计算，大约 95% 的区间会包含真实的总体均值。它不是“总体均值有 95% 的概率落在这个区间里”。
算均值的置信区间
- 填样本统计量：打开 置信区间计算器，填写“样本均值”“样本标准差”和“样本量”。
- 选置信水平：“置信水平”常用 95%，也可选 90%、99% 等。
- 看结果：下方显示临界值（t 分布及自由度）、标准误、误差范围和置信区间。
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公式：区间 = x̄ ± t × s ÷ √n。样本量较小、总体标准差未知时用 t 分布，样本量很大时 t 分布接近正态分布，临界值接近 1.96。
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算问卷需要多少样本
- 选置信水平：打开 样本量计算器，“置信水平”一般选 95%。
- 填误差范围：“误差范围%”填可接受的误差，例如 ±5% 填 5。
- 填预期比例：不知道结果大概是多少时填 50，这时需要的样本量最大，最保守。
- 填总体规模：总体人数有限（例如全校 2,000 人）时填写，会自动做有限总体修正；不填按无限总体计算。
样本量参考
| 误差范围（95% 置信，p = 50%） | 需要样本 |
|---|---|
| ±10% | 97 |
| ±5% | 385 |
| ±3% | 1,068 |
| ±1% | 9,604 |
误差减半，样本量约变为 4 倍。
注意
- 公式假设样本是随机抽取的；只在朋友圈发问卷，样本再多也可能有偏差；
- 计算出的是有效回收的问卷数，发放时要考虑回收率；
- 正态分布的基础见 正态分布教程。
常见问题
置信水平越高越好吗？
置信水平越高，区间越宽、估计越不精确。95% 是常用的平衡点。
总体很大时样本量要很多吗？
不需要。总体足够大时，所需样本量几乎不随总体增大而增加，±5% 误差约 385 份即可。
标准差和标准误有什么区别？
标准差描述单个数据的离散程度；标准误描述样本均值的波动，等于标准差除以 √n。