解三角形教程：正弦定理、余弦定理的公式、适用条件和计算
一句话答案
已知两角一边用正弦定理，已知两边夹角或三边用余弦定理。角 A = 40°、角 B = 60°、边 a = 10 时，b ≈ 13.473、c ≈ 15.321；边 a = 5、b = 7、夹角 C = 60° 时，c ≈ 6.245，面积约 15.155。
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用计算器解三角形
- 判断已知条件：已知两角一边或两边一对角，打开 正弦定理计算器；已知两边夹角或三边，打开 余弦定理计算器。
- 选模式填数：在“已知”中选对应模式，填写角度（度）和边长。
- 看结果：显示三边、三角、面积和周长；正弦定理还会给出外接圆直径。
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正弦定理
a/sin A = b/sin B = c/sin C = 2R（R 为外接圆半径）
例：A = 40°，B = 60°，a = 10：
- C = 180° − 40° − 60° = 80°；
- b = a × sin B ÷ sin A = 10 × 0.8660 ÷ 0.6428 ≈ 13.473；
- c = a × sin C ÷ sin A = 10 × 0.9848 ÷ 0.6428 ≈ 15.321。
余弦定理
c² = a² + b² − 2ab·cos C
例：a = 5，b = 7，C = 60°：c² = 25 + 49 − 2 × 5 × 7 × 0.5 = 39，c ≈ 6.245。
已知三边求角时变形为 cos C = (a² + b² − c²) ÷ 2ab。C = 90° 时 cos C = 0，余弦定理就是勾股定理，见 勾股定理教程。
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选哪个定理
| 已知条件 | 用法 |
|---|---|
| 两角一边（AAS、ASA） | 先求第三个角，再用正弦定理 |
| 两边及夹角（SAS） | 余弦定理求第三边 |
| 三边（SSS） | 余弦定理求角 |
| 两边及其中一边的对角（SSA） | 正弦定理，可能有两解、一解或无解 |
SSA 的多解情况
已知 a、b 和角 A 时，由 sin B = b·sin A ÷ a 求 B：sin B > 1 无解；sin B = 1 一解；sin B < 1 时 B 可能是锐角或钝角，需检查两个角是否都满足内角和小于 180°。计算器会列出所有解。
三角形面积
S = ½ab·sin C。上例 S = ½ × 5 × 7 × sin 60° ≈ 15.155。已知三边也可以用海伦公式，见 三边求面积教程。
常见问题
角度和弧度怎么换算？
弧度 = 角度 × π ÷ 180，三角函数相关见 三角函数教程。
计算器的角度单位是什么？
输入和输出都用“度”。
为什么结果和课本差一点？
课本常保留两三位小数或用近似的三角函数值，计算器保留更多位。
直角三角形也能用吗？
能，但直角三角形直接用勾股定理和锐角三角函数更简单。