概率和期望值教程：两个事件同时发生、至少一个发生和期望值的算法
一句话答案
独立事件 P(A 且 B) = P(A) × P(B)，P(A 或 B) = P(A) + P(B) − P(A 且 B)。P(A) = 0.3、P(B) = 0.5 时，同时发生 0.15，至少一个发生 0.65，都不发生 0.35。期望值 E(X) = Σ 取值 × 概率，长期为负则不划算。
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计算事件概率
- 填概率：打开 概率计算器，填写两个独立事件的概率 P(A)、P(B)，选择小数或百分比格式。
- 看结果：显示同时发生、至少一个发生、恰好一个发生、都不发生和补集的概率。
- 重复试验：填“重复次数 n”，可以算 n 次中至少发生一次的概率。
- 算期望值：打开 期望值计算器，每行输入“取值 概率”，得到期望值、方差和标准差。
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常用公式
| 问题 | 公式 | 例子 |
|---|---|---|
| A 不发生 | 1 − P(A) | 1 − 0.3 = 0.7 |
| A、B 都发生（独立） | P(A) × P(B) | 0.3 × 0.5 = 0.15 |
| A 或 B 至少一个发生 | P(A) + P(B) − P(A∩B) | 0.3 + 0.5 − 0.15 = 0.65 |
| 都不发生 | [1 − P(A)] × [1 − P(B)] | 0.7 × 0.5 = 0.35 |
| n 次中至少一次 | 1 − [1 − P(A)]ⁿ | — |
独立是指一个事件是否发生不影响另一个，例如两次掷硬币。不独立的事件要用条件概率。
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“至少一次”的例子
一次抽中的概率是 10%，抽 10 次至少中一次的概率 = 1 − 0.9¹⁰ ≈ 65.1%，并不是 100%。
期望值
期望值 E(X) = Σ xᵢ × pᵢ，表示大量重复后的平均结果：
E(X) = 100 × 0.1 + 20 × 0.3 + (−10) × 0.6 = 10 + 6 − 6 = 10。
如果把每种结果的净收益（输了记为负数）填进去，期望值为负，长期参加平均会亏钱。各种彩票、抽奖活动的期望收益通常低于投入。
方差和标准差
方差 Var(X) = Σ pᵢ × (xᵢ − E(X))²，标准差是方差的平方根，反映结果的波动大小。期望值相同的两个方案，标准差越大风险越高。
常见问题
概率之和不等于 1 怎么办？
期望值计算器会提示，检查是否漏了某种结果或概率填错。
抽签、转盘公平吗？
每个选项概率相同才公平，可以用 随机转盘 的说明了解原理。
排列组合和概率有什么关系？
古典概型中概率 = 有利情况数 ÷ 总情况数，情况数常用排列组合计算，见 排列组合教程。
百分比格式怎么填？
选“百分比 0–100”后直接填 30、50 等数字。