等差数列和等比数列教程：通项公式、前 n 项和公式、高斯求和与在线计算
一句话答案
等差数列：aₙ = a₁ + (n − 1)d，Sₙ = n(a₁ + aₙ) ÷ 2，1 加到 100 等于 100 × 101 ÷ 2 = 5050。等比数列：aₙ = a₁qⁿ⁻¹，q ≠ 1 时 Sₙ = a₁(1 − qⁿ) ÷ (1 − q)。
等差数列
从第二项起，每一项减去前一项的差都相等，这个差叫公差 d。
- 通项公式：aₙ = a₁ + (n − 1)d；
- 前 n 项和：Sₙ = n(a₁ + aₙ) ÷ 2 = na₁ + n(n − 1)d ÷ 2；
- 等差中项：a、b、c 成等差数列时，2b = a + c。
高斯求和：1 + 2 + 3 + … + 100，首项 1、末项 100、共 100 项，Sₙ = 100 × (1 + 100) ÷ 2 = 5050。思路是把首尾配对，每对的和都是 101，共 50 对。
等比数列
从第二项起，每一项与前一项的比都相等，这个比叫公比 q（q ≠ 0）。
- 通项公式：aₙ = a₁ × qⁿ⁻¹；
- 前 n 项和：q ≠ 1 时 Sₙ = a₁(1 − qⁿ) ÷ (1 − q)；q = 1 时 Sₙ = na₁；
- 等比中项：a、b、c 成等比数列时，b² = ac。
示例：1、2、4、8……前 10 项和 = 1 × (1 − 2¹⁰) ÷ (1 − 2) = 1023。复利增长就是等比数列，见 复利计算。
| 对比 | 等差数列 | 等比数列 |
|---|---|---|
| 相邻两项 | 差相等 | 比相等 |
| 通项 | a₁ + (n − 1)d | a₁qⁿ⁻¹ |
| 增长方式 | 线性 | 指数 |
在线计算等差数列
- 填写参数：打开 等差数列计算器，填写首项 a₁、公差 d 和项数 n。
- 看结果：显示第 n 项、前 n 项和，并列出数列的各项。
- 核对作业：把手算的结果和计算器对照，公差可以是负数或小数。
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常见问题
等差数列求和公式是什么？
Sₙ = n(a₁ + aₙ) ÷ 2，也可以写成 na₁ + n(n − 1)d ÷ 2。
1 加到 100 等于多少？
5050，等于 100 × 101 ÷ 2。
等比数列求和公式是什么？
公比 q ≠ 1 时 Sₙ = a₁(1 − qⁿ) ÷ (1 − q)，q = 1 时 Sₙ = na₁。
计算器能算等比数列吗？
这个计算器用于等差数列，等比数列可以按上面的公式计算。