最大公约数与最小公倍数教程：短除法、质因数分解和辗转相除法
一句话答案
质因数分解后，公有质因数取最低次幂相乘得最大公约数，所有质因数取最高次幂相乘得最小公倍数。24、36、60 的最大公约数是 12，最小公倍数是 360。
最大公约数（GCD）是几个整数共有的最大约数，最小公倍数（LCM）是它们共有的最小正倍数。最大公约数/最小公倍数 可以一次计算多个整数，支持大数。下面先介绍几种手算方法。
方法一：质因数分解
以 24、36、60 为例：
| 数 | 质因数分解 |
|---|---|
| 24 | 2³ × 3 |
| 36 | 2² × 3² |
| 60 | 2² × 3 × 5 |
- 最大公约数：取公有的质因数，指数取最小的，2² × 3 = 12；
- 最小公倍数：取出现过的所有质因数，指数取最大的，2³ × 3² × 5 = 360。
方法二：短除法
用公有的质数连续去除，直到没有公有约数为止：
2 | 24 36 60
2 | 12 18 30
3 | 6 9 15
2 3 5左边的除数相乘 2 × 2 × 3 = 12 就是最大公约数。求三个数的最小公倍数时，短除到两两互质还要继续用只整除其中部分数的质数去除，再把除数和最后一行全部相乘；三个以上的数用质因数分解法更不容易出错。
方法三：辗转相除法
两个数求最大公约数时，用大数除以小数，再用除数除以余数，直到整除为止：
- 36 ÷ 24 = 1 余 12；
- 24 ÷ 12 = 2 余 0；
- 最后的除数 12 就是最大公约数。
两个数满足：最大公约数 × 最小公倍数 = 两数之积，所以 18 和 24 的最大公约数是 6 时，最小公倍数 = 18 × 24 ÷ 6 = 72。
用工具计算
- 输入数字：打开 最大公约数/最小公倍数，输入几个整数，用逗号或空格隔开，例如 24, 36, 60。
- 查看结果：显示最大公约数 GCD 和最小公倍数 LCM。
🔗 最大公约数/最小公倍数
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常见应用
- 约分：分子分母同时除以最大公约数，见 分数计算；
- 通分：用分母的最小公倍数作公分母；
- 分组问题：24 支铅笔、36 块橡皮平均分给同学且没有剩余，最多分给 12 人；
- 周期问题：两路公交车分别 18 分钟、24 分钟一班，同时发车后 72 分钟再次同时发车。
常见问题
最大公约数和最小公倍数有什么关系？
对两个正整数来说，最大公约数乘最小公倍数等于这两个数的乘积。三个及以上的数不满足这个关系。
两个数互质时怎么算？
互质的两个数最大公约数是 1，最小公倍数就是它们的乘积，例如 8 和 9 的最小公倍数是 72。
能算几个数？
可以输入多个整数，用逗号或空格分隔，工具支持大数。
短除法和质因数分解哪个好？
两个数用短除法或辗转相除法快；三个及以上的数求最小公倍数，质因数分解更不容易漏。